Introduction à la théorie de Galois

Le MOOC « Introduction à la théorie de Galois » expose la théorie, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier.

Programme

Semaine 1 : Introduction : description du problème et quelques résultats sur les polynômes d’une variable comme échauffement.

Semaine 2 : Extensions de corps : algébricité, corps algébriquement clos, lemme de l’élément primitif.

Semaine 3 : Polynôme minimal, éléments conjugués.

Semaine 4 : Corps fini : Frobenius, automorphismes, extensions de corps finis.

Semaine 5 : Théorie des groupes I : résultats de base, ordre d’un élément, théorème de Lagrange.

Semaine 6 : Correspondance de Galois : lemme d’Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois.

Semaine 7 : Théorie des groupes II : groupes résolubles, non résolubilité du groupe symétrique Sn pour n plus grand ou égal à 5.

Semaine 8 : Cyclotomie I : extension cyclotomique générale, théorie de Kummer

Semaine 9 : Théorèmes de résolubilité de Galois : critère de résolubilité, théorème de Galois en degré p

Semaine 10 : Réduction mod p : calcul de groupes de Galois de polynômes à coefficients entiers par réduction modulo p Semaine 11 : Compléments : Cyclotomie sur Q (grâce à la réduction modulo p) et autres applications

Certifications

Tout étudiant ayant suivi le cours en entier et réussi le test final avec succès recevra un certificat. Toutefois, ce certificat ne donne pas droit à des crédits ECTS.

Features

• Assessment tools
• Exercises
• Lecture notes
• Video lectures

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